Definice lineární relace

Co je to lineární vztah?

Lineární vztah (nebo lineární asociace) je statistický termín používaný k popisu přímočarého vztahu mezi dvěma proměnnými. Lineární vztahy mohou být vyjádřeny buď v grafickém formátu, kde jsou proměnná a konstanta spojeny přímkou, nebo v matematickém formátu, kde je nezávislá proměnná vynásobena koeficientem sklonu, sečteným konstantou, která určuje závislou proměnnou.

Lineární vztah může být v kontrastu s polynomiálním nebo nelineárním (zakřiveným) vztahem.

Klíčové způsoby

Lineární rovnice je:

Matematicky je lineární vztah takový, který splňuje rovnici:



y

=

m

x

+

b

kde:

m

=

sklon

b

=

y-intercept

\begin{aligned} &y = mx + b \\ &\textbf{where:}\\ &m=\text{slope}\\ &b=\text{y-intercept}\\ \end{aligned}

​y=mx+bwhere:m=slopeb=y-intercept​

V této rovnici jsou „x“ a „y“ dvě proměnné, které spolu souvisí pomocí parametrů „m“ a „b“. Graficky se y = mx + b vykreslí v rovině x-y jako přímka se sklonem „m“ a průsečíkem s osou y „b“. Průsečík s osou y „b“ je jednoduše hodnota „y“, když x = 0.



m

=

(

y

2

y

1

)

(

x

2

x

1

)

m = \frac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)}

m=(x2​−x1​)(y2​−y1​)​

Lineární vztah

Co vám říká lineární vztah?

Existují tři sady nezbytných kritérií, které musí rovnice splňovat, aby se kvalifikovala jako lineární: rovnice vyjadřující lineární vztah se nemůže skládat z více než dvou proměnných, všechny proměnné v rovnici musí být na první mocninu a rovnice musí grafovat jako přímka.

Běžně používaný lineární vztah je korelace, která popisuje, jak blízko lineárnímu módu se mění jedna proměnná ve vztahu ke změnám v jiné proměnné.

Lineární regrese je v ekonometrii často používaná metoda generování lineárních vztahů k vysvětlení různých jevů. Běžně se používá při extrapolaci událostí z minulosti k vytváření prognóz pro budoucnost. Ne všechny vztahy jsou však lineární. Některá data popisují vztahy, které jsou zakřivené (například polynomiální vztahy), zatímco ještě jiná data nelze parameterizovat.

Lineární funkce

Matematicky podobný lineárnímu vztahu je pojem lineární funkce. V jedné proměnné lze lineární funkci zapsat následovně:

ČTĚTE:   Riziko země



f

(

x

)

=

m

x

+

b

kde:

m

=

sklon

b

=

průsečík s osou y

\begin{aligned} &f(x) = mx + b \\ &\textbf{where:}\\ &m=\text{slope}\\ &b=\text{y-intercept}\\ \end{aligned}

​f(x)=mx+bwhere:m=slopeb=y-intercept​

To je shodné s daným vzorcem pro lineární vztah s tím rozdílem, že místo y je použit symbol f(x). Tato substituce má zdůraznit význam, že x je mapováno na f(x), zatímco použití y jednoduše značí, že x a y jsou dvě veličiny, spojené A a B.

Ve studiu lineární algebry jsou vlastnosti lineárních funkcí rozsáhle studovány a zpřísněny. Vzhledem k tomu, skalár C a dva vektory A a B z RN, nejobecnější definice lineární funkce uvádí, že: 

c

×

f

(

A

+

B

)

=

c

×

f

(

A

)

+

c

×

f

(

B

)

c \times f(A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)

c×f(A+B)=c×f(A)+c×f(B)

Příklady lineárních vztahů

Příklad 1

Lineární vztahy jsou v každodenním životě celkem běžné. Vezměme si například pojem rychlost. Vzorec, který používáme pro výpočet rychlosti, je následující: rychlost je vzdálenost ujetá v čase. Pokud někdo v bílém minivanu Chrysler Town and Country z roku 2007 cestuje mezi Sacramentem a Marysville v Kalifornii, 41,3 míle dlouhý úsek na dálnici 99 a celá cesta nakonec trvá 40 minut, pojede něco pod 60 mph.

I když je v této rovnici více než dvě proměnné, je to stále lineární rovnice, protože jedna z proměnných bude vždy konstanta (vzdálenost).

Příklad 2

Lineární vztah lze nalézt také v rovnici vzdálenost = rychlost x čas. Protože vzdálenost je kladné číslo (ve většině případů), tento lineární vztah by byl vyjádřen na pravém horním kvadrantu grafu s osou X a Y.

Pokud by jízdní kolo vyrobené pro dva jelo rychlostí 30 mil za hodinu po dobu 20 hodin, jezdec by nakonec ujel 600 mil. Graficky znázorněno se vzdáleností na ose Y a časem na ose X, přímka sledující vzdálenost za těchto 20 hodin by jela přímo od konvergence osy X a Y.

Příklad 3

Abychom mohli převést Celsia na Fahrenheita nebo Fahrenheita na Celsia, použili bychom rovnice uvedené níže. Tyto rovnice vyjadřují lineární vztah na grafu:

ČTĚTE:   Konzervativní růst



°

C

=

5

9

(

°

F

3

2

)

\degree C = \frac{5}{9}(\degree F – 32)

°C=95​(°F−32)



°

F

=

9

5

°

C

+

3

2

\degree F = \frac{9}{5}\degree C + 32

°F=59​°C+32

Příklad 4

Předpokládejme, že nezávislá proměnná je velikost domu (měřeno čtvereční stopou), která určuje tržní cenu domu (závislá proměnná), když je vynásobena koeficientem sklonu 207,65 a poté se přičte k konstantní hodnotě 10 500 dolarů. Je-li čtvereční stopa domu 1 250, pak tržní hodnota domu je (1 250 x 207,65) + $10 500 = $270 062,50. Graficky a matematicky se to jeví takto:

V tomto příkladu, jak se zvětšuje velikost domu, se lineárně zvyšuje tržní hodnota domu.

Některé lineární vztahy mezi dvěma objekty lze nazvat „poměrným vztahem“. Tento vztah se jeví jako



Y

=

k

×

X

kde:

k

=

konstanta

Y

,

X

=

proporcionální veličiny

\begin{aligned} &Y = k \times X \\ &\textbf{where:}\\ &k=\text{constant}\\ &Y, X=\text{proportional quantities}\\ \end{aligned}

​Y=k×Xwhere:k=constantY,X=proportional quantities​

Při analýze behaviorálních dat zřídkakdy existuje dokonalý lineární vztah mezi proměnnými. Trendové čáry však lze nalézt v datech, která tvoří hrubou verzi lineárního vztahu. Například se můžete podívat na denní prodej zmrzliny a denní vysokou teplotu jako na dvě proměnné ve hře v grafu a najít hrubý lineární vztah mezi nimi.