Kostal se narodil v Chicagu v Illinois, navštěvoval Harrison Technical High School, ale rozhodl se, že nebude chodit na vysokou školu, místo toho se učil hudební aranžování studiem symfonických partitur, které měl k dispozici ve své místní knihovně. Jeho první profesionální zaměstnání bylo jako aranžér pro Design for Listening, rozhlasový pořad NBC se sídlem v jeho rodném městě.
Po přestěhování do New Yorku byl Kostal najat do populárního varietního seriálu Sida Caesara Your Show of Shows a následně působil v The Garry Moore Show. Jeho práce v televizi vedla ke spolupráci s osobnostmi jako Carol Burnett, Maurice Chevalier, Lucille Ball, Dick Van Dyke nebo Julie Andrews.
Brzy začal dirigovat broadwayské produkce, například Shinbone Alley, The Music Man, Gigi, Fiorello!, A Funny Thing Happened on the Way to the Forum a West Side Story, kde se také podílel na filmové verzi z roku 1961, která mu vynesla Grammy a Oscara. Pokračoval v aranžování a orchestrování hudby pro další filmy, například The Sound of Music, The Magic of Lassie, Chitty Chitty Bang Bang, Half a Sixpence, Charlotte’s Web a remake filmu 20th Century Fox’s The Blue Bird z roku 1976.
Kostal zemřel na infarkt v roce 1994 a v roce 2004 byl jmenován legendou Disney.