Platt se narodil na Staten Islandu v New Yorku. Část dětství strávil v Kentucky a na severu státu New York, kde navštěvoval Northwood School. Studoval také na Juilliard School a Princetonské univerzitě a později sloužil v armádě Spojených států během druhé světové války.
Silný, operně vycvičený basbarytonista debutoval na Broadwayi v muzikálu Allegro od Rodgerse a Hammersteina. Objevil se také ve filmech Oh, Captain! a Štír, kde se objevil také ve filmové verzi z roku 1955. Mezi jeho další filmy patřily Rebel bez příčiny, North by Northwest, The Rebel Set a Cape Fear.
19. března 1974 byl Platt nalezen mrtev ve svém bytě v Santa Monice, ve věku 58 let. Zpočátku se uvádělo, že zemřel na infarkt, ale Plattův syn později přiznal, že smrt jeho otce byla sebevražda, po dlouhém boji s depresemi.