Co je složený úrok?
Složený úrok (nebo složený úrok) je úrok z půjčky nebo vkladu vypočítaný na základě počáteční jistiny i kumulovaného úroku z předchozích období. Složený úrok, o němž se předpokládá, že pochází z Itálie 17. století, lze považovat za „úrok z úroku“ a díky němu suma poroste rychlejším tempem než jednoduchý úrok, který se vypočítává pouze z částky jistiny.
Sazba, za kterou složený úrok nabíhá, závisí na frekvenci složeného úroku, takže čím vyšší je počet složených období, tím větší je složený úrok. Tedy výše složeného úroku nabíhajícího ze 100 dolarů složeného z 10% ročně bude nižší než u 100 dolarů složeného z 5% pololetně za stejné časové období. Protože efekt úroku z úroku může generovat stále více kladných výnosů založených na počáteční výši jistiny, složený úrok byl někdy označován jako „zázrak složeného úroku“.
Klíčové způsoby
Pochopení složeného zájmu
Jak funguje složený úrok
Složený úrok se vypočítá vynásobením původní výše jistiny jednou plus roční úroková sazba zvýšená na počet složených období minus jedna. Od výsledné hodnoty se pak odečte celková počáteční výše úvěru.
Vzorec pro výpočet výše složeného úroku je následující:
Kde:
Vezměte si tříletou půjčku ve výši 10 000 dolarů s úrokovou sazbou 5%, která se ročně zúročí. Jaká by byla výše úroku? V tomto případě by to bylo:
Jak roste složený úrok
Protože složený úrok zahrnuje úroky nahromaděné v předchozích obdobích, roste stále zrychlujícím tempem. Ve výše uvedeném příkladu sice celkový úrok splatný za tříleté období tohoto úvěru činí 1 576,25 USD, výše úroku však není stejná pro všechny tři roky, jak by tomu bylo při jednoduchém úroku. Úroky splatné na konci každého roku jsou uvedeny v tabulce níže.
Složený úrok může výrazně zvýšit návratnost investic v dlouhodobém horizontu. Zatímco vklad ve výši 100 000 dolarů, který obdrží 5% jednoduchý roční úrok, by vydělal 50 000 dolarů na celkovém úroku za 10 let, roční složený úrok ve výši 5% z 10 000 dolarů by za stejné období činil 62 889,46 dolarů. Pokud by se složený úrok platil měsíčně za stejné desetileté období při 5% složeném úroku, celkový úrok by místo toho vzrostl na 64 700,95 dolarů.
Složené úrokové sazby
Úrok může být úročen na jakémkoli daném kmitočtovém plánu, od denního do ročního. Existují standardní složené kmitočtové plány, které se obvykle uplatňují na finanční nástroje.
Některé banky také nabízejí něco, čemu se říká průběžně složený úrok, který přidává úrok k jistině v každém možném okamžiku. Pro praktické účely to není o tolik víc než denní složený úrok, pokud do toho nechcete vložit peníze a vybrat si je ve stejný den.
Sloučená období
Při výpočtu složeného úroku je významný rozdíl v počtu složených období. Základním pravidlem je, že čím vyšší je počet složených období, tím větší je výše složeného úroku.
Následující tabulka ukazuje rozdíl, že počet složených období může dělat pro $10,000 úvěr s roční 10% úrokovou sazbou za 10-leté období.
Zvláštní úvahy
Složený úrok je úzce svázán s časovou hodnotou peněz a pravidlem 72, což jsou oba důležité pojmy v investování.
Časová hodnota peněžní úvahy
Pochopení časové hodnoty peněz a exponenciálního růstu vytvořeného složením je nezbytné pro investory, kteří chtějí optimalizovat své příjmy a rozdělení bohatství.
Vzorec pro získání budoucí hodnoty (FV) a současné hodnoty (PV) je následující:
Například budoucí hodnota 10 000 dolarů složená na 5% ročně po dobu tří let:
Současná hodnota 11 576,25 dolarů zlevněná na 5% po dobu tří let:
V tomto případě je diskontním faktorem převrácená hodnota 1,157625, která se rovná 0,8638376.
Článek 72
Takzvané pravidlo 72 vypočítává přibližný čas, za který se investice zdvojnásobí při dané míře návratnosti nebo úroku „i“, a je dáno (72/i). Může být použito pouze pro roční zúčtování.
Například investice, která má 6% roční míru návratnosti, se za 12 let zdvojnásobí. Investice s 8% roční mírou návratnosti se tak za devět let zdvojnásobí.
Složená roční míra růstu (CAGR)
Složené roční tempo růstu (CAGR) se používá pro většinu finančních aplikací, které vyžadují výpočet jednotného tempa růstu za určité období.
Řekněme, že vaše investiční portfolio vzrostlo z 10 000 na 16 000 dolarů za pět let; co je CAGR? V podstatě to znamená, že PV = -$10 000, FV = $16 000 a t = 5, takže proměnná „i“ se musí vypočítat. Pomocí finanční kalkulačky nebo Excelu lze ukázat, že i = 9,86%.
Podle konvence cash-flow je vaše počáteční investice (PV) ve výši 10 000 dolarů zobrazena se záporným znaménkem, protože představuje odliv finančních prostředků. PV a FV musí mít nutně opačná znaménka k řešení pro „i“ ve výše uvedené rovnici.
CAGR Real-Life Applications
CAGR se široce používá pro výpočet výnosů za časová období pro akcie, podílové fondy a investiční portfolia. CAGR se také používá pro zjištění, zda správce podílového fondu nebo správce portfolia překročil za určité období míru výnosnosti trhu. Pokud například tržní index poskytl celkové výnosy 10% za pětileté období, ale správce fondu vytvořil za stejné období pouze roční výnosy ve výši 9%, správce podcenil trh.
Příklad 1: Investor s averzí vůči riziku je spokojený se skromnou 3% roční mírou návratnosti svého portfolia. Její současné portfolio ve výši 100 000 dolarů by tedy po 20 letech vzrostlo na 180 611 dolarů. Naopak investor s tolerancí vůči riziku, který očekává roční návratnost 6% svého portfolia, by po 20 letech viděl růst 100 000 dolarů na 320 714 dolarů.
Příklad 2: CAGR lze použít k odhadu, kolik je třeba uložit, aby se našetřilo na konkrétní cíl. Pár, který by chtěl našetřit 50 000 dolarů za 10 let na zálohu na byt, by musel ušetřit 4 165 dolarů ročně, pokud předpokládá roční výnos (CAGR) 4% ze svých úspor. Pokud jsou připraveni podstoupit malé riziko navíc a očekávají CAGR 5%, museli by našetřit 3 975 dolarů ročně.
Příklad 3: CAGR může také prokázat přednosti investování spíše dříve než později v životě. Pokud je cílem spořit 1 milion dolarů odchodem do důchodu v 65 letech, na základě CAGR ve výši 6%, musel by 25letý člověk spořit 6 462 dolarů ročně, aby tohoto cíle dosáhl. 40letý člověk by naopak musel spořit 18 227 dolarů, tedy téměř trojnásobek této částky, aby dosáhl stejného cíle.
CAGR se často používají při měření ekonomických dat. Zde je příklad: Čínský HDP na obyvatele se zvýšil ze 193 dolarů v roce 1980 na 6 091 dolarů v roce 2012. Jaký je roční růst HDP na obyvatele v tomto 32letém období? Tempo růstu „i“ v tomto případě vychází na impozantních 11,4%.
Klady a zápory sloučení
Pozitivní je, že skládání může působit ve váš prospěch, pokud jde o vaše investice, a může být silným faktorem při tvorbě bohatství. Exponenciální růst ze skládání úroků je také důležitý při zmírňování faktorů narušujících bohatství, jako je zvýšení životních nákladů, inflace a snížená kupní síla.
Podílové fondy nabízejí investorům jeden z nejjednodušších způsobů, jak těžit z výhod složeného úroku. Volba reinvestovat dividendy odvozené od podílového fondu vede k nákupu většího množství akcií fondu. Větší složený úrok se v průběhu času kumuluje a cyklus nákupu většího množství akcií bude nadále napomáhat růstu hodnoty investice do fondu.
Vezměme si investici do podílového fondu otevřenou s počátečními 5 000 dolary a ročním přírůstkem 2 400 dolarů. Při průměrném ročním výnosu 12% za 30 let je budoucí hodnota fondu 798 500 dolarů. Složený úrok je rozdíl mezi hotovostí vloženou do investice a skutečnou budoucí hodnotou investice. V tomto případě při přispění 77 000 dolarů, neboli kumulativním příspěvku ve výši pouhých 200 dolarů měsíčně za 30 let, je složený úrok 721 500 dolarů budoucího zůstatku.
Samozřejmě, zisk z složených úroků je zdanitelný, pokud peníze nejsou na daňově chráněném účtu; obvykle se zdaňuje standardní sazbou spojenou s daňovým pásmem poplatníka.
Složené úrokové investice
Investor, který se rozhodne pro plán reinvestice dividend (DRIP) v rámci makléřského účtu, v podstatě využívá možnosti složeného vkladu do čehokoliv, co investuje.
Investoři mohou také zažít úročení při nákupu dluhopisu s nulovým kupónem. Tradiční emise dluhopisů poskytují investorům pravidelné úrokové platby na základě původních podmínek emise dluhopisů, a protože jsou investorovi vypláceny formou šeku, úrok se neúročí. Dluhopisy s nulovým kupónem neposílají investorům úrokové šeky; místo toho se tento typ dluhopisu nakupuje se slevou z původní hodnoty a postupem času roste. Emitenti dluhopisů s nulovým kupónem využívají sílu úročení ke zvýšení hodnoty dluhopisu tak, aby dosáhl plné ceny v době splatnosti.
Sloučení vám může fungovat i při splácení úvěru. Například při poloviční splátce hypotéky dvakrát měsíčně, než při plné splátce jednou měsíčně, se vám zkrátí doba amortizace a ušetří vám nemalý úrok.
Jak vypočítat složený úrok
Pokud už je to nějaký pátek od vašich hodin matematiky, nebojte se: Existují šikovné nástroje, jak přijít na kloubové výpočty. Mnoho kalkulaček (jak ručních, tak počítačových) má exponentní funkce, které můžete pro tyto účely využít.
Výpočet složeného úroku v aplikaci Excel
Pokud vzniknou složitější skládací úlohy, můžete je provádět v aplikaci Microsoft Excel – třemi různými způsoby.
Jiné kalkulačky složených úroků
Na internetu je k dispozici řada bezplatných kalkulaček složených úroků a tyto úkoly zvládne i řada ručních kalkulaček.
Jak poznám, že je úrok sloučený?
Zákon o pravdě v půjčování (Truth in Lending Act, TILA) vyžaduje, aby věřitelé zveřejňovali podmínky půjčky potenciálním dlužníkům, včetně celkové dolarové částky úroků, které mají být splaceny po dobu trvání půjčky a toho, zda úroky vzniknou jednoduše nebo jsou složeny.
Jinou metodou je porovnání úrokové sazby úvěru s jeho roční procentní sazbou (RPSN), kterou TILA také vyžaduje, aby věřitelé zveřejnili. RPSN převede finanční poplatky vašeho úvěru, které zahrnují všechny úroky a poplatky, na jednoduchou úrokovou sazbu. Podstatný rozdíl mezi úrokovou sazbou a RPSN znamená jeden nebo oba dva scénáře: Váš úvěr používá složený úrok, nebo kromě úroku zahrnuje i tučné úvěrové poplatky. I když jde o stejný typ úvěru, rozpětí RPSN se může mezi věřiteli divoce lišit v závislosti na poplatcích finanční instituce a dalších nákladech.
Co je jednoduchá definice složeného zájmu?
Složený úrok označuje jev, kdy se úrok spojený s bankovním účtem, půjčkou nebo investicí v průběhu času zvyšuje exponenciálně, nikoli lineárně. Klíčem k pochopení tohoto pojmu je slovo „složený“.
Předpokládejme, že uděláte investici ve výši 100 dolarů do podniku, který vám každý rok vyplatí 10% dividendu. Máte možnost buď si tyto výplaty dividend strčit do kapsy jako hotovost, nebo tyto výplaty reinvestovat do dalších akcií. Pokud zvolíte druhou možnost, reinvestování dividend a jejich sloučení s vaší počáteční investicí ve výši 100 dolarů, pak výnosy, které vytvoříte, začnou časem růst.
Kdo profituje ze složeného úroku?
Jednoduše řečeno, složený úrok prospívá investorům, ale význam slova „investoři“ může být poměrně široký. Banky například těží z složeného úroku, když půjčují peníze, a získané úroky reinvestují do poskytování dalších půjček. Vkladatelé také těží z složeného úroku, když získají úrok ze svých bankovních účtů, dluhopisů nebo jiných investic.
Je důležité poznamenat, že i když pojem „složený úrok“ zahrnuje slovo „úrok“, tento pojem se používá i mimo situace, pro které se slovo úrok obvykle používá, jako jsou bankovní účty a půjčky.
Může vás kombinovaný úrok obohatit?
Ano. Ve skutečnosti je složený úrok pravděpodobně nejmocnější silou pro vytváření bohatství, jaká kdy byla vymyšlena. Existují záznamy o tom, že obchodníci, věřitelé a různí podnikatelé používali složený úrok k tomu, aby zbohatli doslova na tisíce let. Například ve starověkém městě Babylon se před více než 4000 lety používaly hliněné tabulky, aby se studenti učili matematice složeného úroku.
V moderní době se Warren Buffett stal jedním z nejbohatších lidí na světě díky obchodní strategii, která zahrnovala pilné a trpělivé skládání návratnosti jeho investic po dlouhou dobu. Je pravděpodobné, že v té či oné formě budou lidé používat složené úroky k vytváření bohatství v dohledné budoucnosti.