Narodil se ve Scrantonu v Pensylvánii; Burke vystudoval Duke University, kde založil a vedl jazzový big band známý jako Duke Ambassadors. Během třicátých až padesátých let pracoval Burke jako aranžér pro mnoho jmen tanečních orchestrů, jako Charlie Spivak, Sam Donahue, Ben Sidran a Jimmy Dorsey. Byl také kapelníkem pro nahrávky předních zpěváků, jako Dinah Shore, Bing Crosby, The Andrews Sisters, The Mills Brothers, Ella Fitzgerald, Mel Tormé a Billy Eckstine.
V roce 1942 vstoupil do ASCAP a napsal hudbu pro řadu populárních písní, které jsou nadále považovány za standard, jako například „Black Coffee“, „Midnight Sun“, „Somebody Bigger than You and I“, „How It Lies, How It Lies, How It Lies“, „Swing Swift Swing“, „Rock Pretty Baby“, „Merry Christmas Polka“ a „You’re a Lucky Fellow, Mr. Smith“. Později se Burke stal hudebním ředitelem Warner Bros. Records/Reprise Records a byl zodpovědný za mnoho alb Franka Sinatry a byl producentem jeho ikonických nahrávek „My Way“ a „Theme from New York, New York“.
Jeho filmový přínos jako skladatele či orchestrátora zahrnoval Follies Girl, A Song Is Born, Wake Up and Dream, Somewhere in the Night, Lost in a Harem, Who Done It?, Baladu o Cable Hogue, Painting the Clouds with Sunshine, The Wild Bunch, Big Time, Hand of Death a Flame of the Islands. Napsal také znělku k Hennesey a Follow the Sun.
Burke byl také čtrnáct let uměleckým ředitelem a ředitelem repertoáru společnosti Decca Records. Zemřel ve věku 66 let na rakovinu 31. května 1980 v kalifornské Santa Monice. Přežila ho manželka a čtyři děti.