Morgan se narodil jako Harry Bratsberg v Detroitu a v roce 1933 absolvoval střední školu v Muskegonu, kde dosáhl uznání jako celostátní mistr v debatách. Původně aspiroval na titul J.D., ale v roce 1935 začal hrát na univerzitě v Chicagu. V roce 1937 nastoupil do Skupinového divadla v New Yorku, které v roce 1931 založili Harold Clurman, Cheryl Crawfordová a Lee Strasberg. Objevil se v původní inscenaci hry Clifforda Odetse Golden Boy, po níž následovala řada úspěšných rolí na Broadwayi po boku dalších členů Skupiny, jako byli Lee J. Cobb, Elia Kazan, John Garfield, Sanford Meisner a Karl Malden.
Mezi Morganovy hlavní televizní role patřili Pete Porter ve filmech Prosincová nevěsta (1954–1959) a Pete a Gladys (1960–1962), důstojník Bill Gannon ve filmu Dragnet (1967–1970), Amos Coogan ve filmu Hec Ramsey (1972–1974) a jeho hlavní role plukovníka Shermana T. Pottera ve filmech M*A*S*H (1975–1983) a AfterMASH (1983–1984). Morgan se objevil ve více než stovce filmů, například Na pobřeží Tripolisu, Příběh Glenna Millera, Gangster, Velké hodiny, Temné město, Schůzka s nebezpečím, V pravé poledne, Světlonošská píseň, Ohyb řeky, Zátoka hromu, Vzdálená země, Strategické velení letectva, Zdědit vítr, Cimarron, Jak byl Západ poražen, Frankie a Johnny, Flim-Flam Man, Podpořte svého místního šerifa!, Podpořte svého místního střelce!, a ve filmové adaptaci Dragneta z roku 1987, kde si zopakoval svou dřívější roli.
Morgan zemřel pokojně ve spánku 7. prosince 2011 ve věku 96 let.