Co je exponenciální růst?
Exponenciální růst je vzorec dat, který ukazuje větší nárůsty s ubíhajícím časem a vytváří křivku exponenciální funkce.
Například předpokládejme, že populace myší exponenciálně vzroste o dvojnásobek každý rok počínaje 2 v prvním roce, pak 4 ve druhém roce, 8 ve třetím roce, 16 ve čtvrtém roce a tak dále. Populace v tomto případě roste o dvojnásobek každý rok. Pokud myši místo toho porodí čtyři mláďata, budete mít 4, pak 16, pak 64, pak 256.
Exponenciální růst (který je multiplikativní) může být v kontrastu s lineárním růstem (který je aditivní) a s geometrickým růstem (který je umocněn).
Klíčové způsoby řešení:
Pochopení exponenciálního růstu
Ve finančnictví způsobují složené výnosy exponenciální růst. Síla složeného úročení je jednou z nejmocnějších sil ve finančnictví. Tento koncept umožňuje investorům vytvářet velké částky s malým počátečním kapitálem. Běžnými příklady exponenciálního růstu jsou spořicí účty, které nesou složenou úrokovou sazbu.
Aplikace exponenciálního růstu
Předpokládejme, že vložíte 1 000 dolarů na účet, který vydělá garantovanou 10% úrokovou sazbu. Pokud je na účtu jednoduchá úroková sazba, vyděláte 100 dolarů ročně. Výše zaplaceného úroku se nezmění, dokud nebudou provedeny žádné další vklady.
Pokud je však na účtu složená úroková sazba, získáte úrok z úhrnu kumulativního účtu. Každý rok bude věřitel aplikovat úrokovou sazbu na součet počátečního vkladu, spolu s veškerými dříve zaplacenými úroky. V prvním roce je získaný úrok stále 10% nebo 100 dolarů. Ve druhém roce se však 10% sazba aplikuje na nový úhrn 1100 dolarů, čímž získáte 110 dolarů. S každým dalším rokem výše zaplaceného úroku roste, což vytváří rychle se zrychlující, nebo exponenciální růst. Po 30 letech, kdy nejsou vyžadovány žádné další vklady, by váš účet měl hodnotu 17 449,40 dolarů.
Vzorec pro exponenciální růst
Na grafu tato křivka začíná pomalu, zůstává nějakou dobu téměř rovná, než se rychle zvětšuje, aby se jevila téměř vertikálně. Následuje vzorec:
V
=
S
×
(
1
+
R
)
T
V=S\times(1+R)^T
V=S×(1+R)T
Aktuální hodnota V počátečního počátečního bodu podléhajícího exponenciálnímu růstu může být určena vynásobením počáteční hodnoty S součtem jedničky plus úrokové míry R umocněné na T nebo počtem uplynulých období.
Zvláštní úvahy
Zatímco ve finančním modelování se často používá exponenciální růst, realita je často složitější. Aplikace exponenciálního růstu funguje dobře na příkladu spořicího účtu, protože úroková sazba je garantovaná a v čase se nemění. U většiny investic tomu tak není. Například výnosy z burzy cenných papírů nesledují každoročně hladce dlouhodobé průměry.
Další metody předpovídání dlouhodobých výnosů – například Monte Carlova simulace, která využívá rozdělení pravděpodobnosti k určení pravděpodobnosti různých potenciálních výsledků – zaznamenaly rostoucí popularitu. Exponenciální růstové modely jsou užitečnější pro předpovídání investičních výnosů, když je tempo růstu stabilní.