Black-Scholesův /ˌblæk ˈʃoʊlz/ nebo Black-Scholes-Mertonův model je matematický model finančního trhu obsahujícího určité derivátové investiční nástroje. Z modelu lze odvodit Black-Scholesův vzorec, který poskytuje teoretický odhad ceny opcí evropského typu. Tento vzorec vedl k rozmachu obchodování s opcemi a vědecky legitimizoval činnost Chicago Board Options Exchange a dalších opčních trhů po celém světě. účastníci opčního trhu jej hojně využívají, i když často s úpravami a korekcemi. 751 Mnoho empirických testů ukázalo, že Black-Scholesova cena je “poměrně blízko” pozorovaným cenám, i když existují známé nesrovnalosti, jako například “opční úsměv”. 770-771
Blackův-Scholesův model poprvé publikovali Fischer Black a Myron Scholes ve svém článku “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” z roku 1973, který vyšel v časopise Journal of Political Economy. Odvodili stochastickou parciální diferenciální rovnici, dnes nazývanou Black-Scholesova rovnice, která odhaduje cenu opce v čase. Klíčovou myšlenkou tohoto modelu je zajištění opce nákupem a prodejem podkladového aktiva správným způsobem, a tedy “eliminace rizika”. Toto zajištění se nazývá delta hedging a je základem složitějších zajišťovacích strategií, jakými se zabývají například investiční banky a hedgeové fondy. Zajištění předpokládá, že existuje jedinečná cena opce, a ta je dána Black-Scholesovým vzorcem.
Robert C. Merton jako první publikoval článek rozšiřující matematické chápání modelu oceňování opcí a vytvořil termín Black-Scholesův model oceňování opcí. Merton a Scholes obdrželi za svou práci v roce 1997 Nobelovu cenu za ekonomii (The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel). Ačkoli Black neměl na cenu nárok, protože v roce 1995 zemřel, švédská akademie ho zmínila jako autora, který se na jejím udělení podílel.
Black-Scholesův model trhu s určitými akciemi vychází z následujících explicitních předpokladů:
Na základě těchto předpokladů Black a Scholes ukázali, že “je možné vytvořit zajištěnou pozici, která se skládá z dlouhé pozice v akciích a krátké pozice v opci, jejíž hodnota nebude záviset na ceně akcií”.
Nakonec použijeme výraz, který označuje standardní normální kumulativní distribuční funkci,
která označuje standardní normální funkci hustoty pravděpodobnosti,
Upozorňujeme čtenáře na nekonzistentní zápis, který se v tomto článku objevuje. Proto je písmeno použito jako:
Používá se také ve významu (4) s indexem označujícím čas, ale zde je index pouze mnemotechnickou pomůckou.
V parciálních derivacích jsou písmena v čitateli a jmenovateli samozřejmě reálné proměnné a samotné parciální derivace jsou původně reálné funkce reálných proměnných. Po nahrazení jednoho z argumentů stochastickým procesem se však stávají stochastickými procesy.
Black-Scholesův PDE je původně výrok o stochastickém procesu , ale když je reinterpretován jako reálná proměnná, stává se z něj obyčejný PDE. Teprve pak se můžeme ptát na její řešení.
Parametr, který se objevuje v modelu s diskrétní dividendou a v elementárním odvození, není totožný s parametrem, který se objevuje v jiných částech článku. Vztah mezi nimi viz Geometrický Brownův pohyb.
Black-Scholesova rovnice[]
Simulované geometrické Brownovy pohyby s parametry z tržních dat
Black-Scholesova rovnice je parciální diferenciální rovnice, která popisuje cenu opce v čase. Rovnice je následující:
Klíčový finanční vhled do této rovnice spočívá v tom, že opci lze dokonale zajistit správným nákupem a prodejem podkladového aktiva a následně “eliminovat riziko”. Toto zajištění zase znamená, že pro opci existuje pouze jedna správná cena, kterou vrací Black-Scholesův vzorec (viz následující část).
Finanční výklad[]
Rovnice má konkrétní interpretaci, kterou často používají odborníci z praxe a která je základem pro běžné odvození uvedené v následující podkapitole. Rovnici lze přepsat ve tvaru:
Levá strana se skládá z členu “časového rozpadu”, změny hodnoty derivace v důsledku nárůstu času nazývané theta, a členu zahrnujícího druhou prostorovou derivaci gama, konvexitu hodnoty derivace vzhledem k základní hodnotě. Pravá strana je bezrizikový výnos z dlouhé pozice v derivátu a krátké pozice tvořené akciemi podkladového aktiva.
Blackův a Scholesův poznatek spočívá v tom, že portfolio reprezentované pravou stranou je bezrizikové: rovnice tedy říká, že bezrizikový výnos za libovolný nekonečně dlouhý časový interval lze vyjádřit jako součet theta a členu zahrnujícího gama. U opce je theta obvykle záporná, což odráží ztrátu hodnoty v důsledku kratšího času na uplatnění opce (u evropského kupního opčního listu na podkladové aktivum bez dividend je vždy záporná). Gamma je obvykle kladná, a proto člen gamma odráží zisky z držení opce. Rovnice říká, že v libovolném nekonečně dlouhém časovém intervalu se ztráta z theta a zisk z členu gama vzájemně vyrovnávají, takže výsledkem je výnos ve výši bezrizikové sazby.
Z pohledu emitenta opce, např. investiční banky, je člen gamma nákladem na zajištění opce. (Protože gama je největší, když se spotová cena podkladového aktiva blíží realizační ceně opce, jsou za těchto okolností náklady prodávajícího na zajištění největší.)
Následující odvození je uvedeno v knize Hull’s Options, Futures, and Other Derivatives (Opce, futures a jiné deriváty):287-288. To zase vychází z klasického argumentu v původním Black-Scholesově článku.
Podle výše uvedených předpokladů modelu se cena podkladového aktiva (obvykle akcie) řídí geometrickým Brownovým pohybem. To znamená, že
Výplata opce při splatnosti je známá. Abychom zjistili její hodnotu v dřívějším čase, potřebujeme vědět, jak se vyvíjí v závislosti na a . Podle Itova lemmatu pro dvě proměnné máme
Nyní uvažujme určité portfolio, nazývané delta-hedge portfolio, které se skládá z krátkých opcí a dlouhých akcií v čase . Hodnota těchto podílů je
Za časové období je celkový zisk nebo ztráta ze změn hodnot podílů:
Nyní diskretizujte rovnice pro dS/S a dV nahrazením diferenciálů deltami:
a vhodně je dosadíme do výrazu pro :
Všimněte si, že termín zmizel. Nejistota byla tedy odstraněna a portfolio je fakticky bezrizikové. Míra výnosu tohoto portfolia se musí rovnat míře výnosu jakéhokoli jiného bezrizikového nástroje; jinak by existovaly příležitosti k arbitráži. Nyní za předpokladu, že bezriziková míra výnosu je, musíme mít v časovém období
Pokud nyní srovnáme naše dva vzorce pro, dostaneme:
Zjednodušením dojdeme ke slavné Blackově-Scholesově parciální diferenciální rovnici:
Za předpokladů Black-Scholesova modelu platí tato parciální diferenciální rovnice druhého řádu pro jakýkoli typ opce, pokud je její cenová funkce dvakrát diferencovatelná vzhledem k a jednou vzhledem k . Různé vzorce pro stanovení ceny různých opcí vyplynou z volby výplatní funkce při vypršení platnosti a vhodných okrajových podmínek.
Technická poznámka: Výše uvedený diskretizační přístup zastírá skutečnost, že nekonečně malá změna hodnoty portfolia byla způsobena pouze nekonečně malými změnami hodnot držených aktiv, nikoli změnami pozic v aktivech. Jinými slovy, předpokládalo se, že porfolio je samofinancovatelné. To lze dokázat ve spojitém prostředí a využívá to základních výsledků teorie stochastických diferenciálních rovnic.
Evropský kupní kontrakt oceněný pomocí Black-Scholesovy oceňovací rovnice pro různou cenu aktiva S a dobu do exspirace T. V tomto konkrétním příkladu je realizační cena stanovena na jednotku.
Black-Scholesův vzorec vypočítává cenu evropských prodejních a kupních opcí. Tato cena je v souladu s výše uvedenou Black-Scholesovou rovnicí; vyplývá to z toho, že vzorec lze získat řešením rovnice pro příslušné terminální a okrajové podmínky.
Hodnota kupní opce na podkladovou akcii nevyplácející dividendy podle Black-Scholesových parametrů je:
Cena odpovídající put opce na základě parity put-call je:
Zavedení některých pomocných proměnných umožňuje vzorec zjednodušit a přeformulovat do podoby, která je často výhodnější (jedná se o zvláštní případ vzorce Black ’76):
Pomocnými proměnnými jsou:
s d+ = d1 a d- = d2 pro přehlednost zápisu.
Vzhledem k paritě put-call, která se vyjadřuje takto:
cena prodejní opce je:
Black-Scholesův vzorec lze interpretovat poměrně snadno, přičemž hlavní jemností je interpretace (a a fortiori ) členů, zejména a proč existují dva různé členy.
Vzorec lze interpretovat tak, že nejprve rozložíme kupní opci na rozdíl dvou binárních opcí: kupní opce typu aktivum nebo nic minus kupní opce typu hotovost nebo nic (dlouhá kupní opce typu aktivum nebo nic, krátká kupní opce typu hotovost nebo nic). Kupní opce vyměňuje hotovost za aktivum v okamžiku vypršení platnosti, zatímco kupní opce typu aktivum nebo nic přináší pouze aktivum (bez hotovosti výměnou) a kupní opce typu hotovost nebo nic přináší pouze hotovost (bez aktiva výměnou). Black-Scholesův vzorec je rozdílem dvou členů a tyto dva členy se rovnají hodnotě binární kupní opce. Tyto binární opce se obchodují mnohem méně často než vanilkové kupní opce, ale snadněji se analyzují.
kde je současná hodnota koupě aktiv nebo ničeho a je současná hodnota koupě peněz nebo ničeho. Faktor D slouží k diskontování, protože datum expirace je v budoucnosti, a jeho odstraněním se současná hodnota změní na budoucí hodnotu (hodnotu při expiraci). Tedy je budoucí hodnota koupě s aktivem nebo bez aktiva a je budoucí hodnota koupě s penězi nebo bez aktiva. V rizikově neutrálním vyjádření se jedná o očekávanou hodnotu aktiva a očekávanou hodnotu hotovosti v rizikově neutrální míře.
Naivní a ne zcela správný výklad těchto pojmů je, že je pravděpodobnost, že opce vyprší v penězích , krát hodnota podkladového aktiva při expiraci F, zatímco je pravděpodobnost, že opce vyprší v penězích krát hodnota hotovosti při expiraci K. To je samozřejmě nesprávné, protože buď obě binární opce vyprší v penězích, nebo obě vyprší mimo peníze (buď je hotovost vyměněna za aktivum, nebo není), ale pravděpodobnosti a nejsou stejné. Ve skutečnosti je lze interpretovat jako míry peněžnosti (ve směrodatných odchylkách) a jako pravděpodobnosti expirace ITM (procentuální peněžnost), v příslušném numeraire, jak je uvedeno níže. Zjednodušeně řečeno, interpretace peněžní opce, , je správná, protože hodnota peněz je nezávislá na pohybech podkladového aktiva, a lze ji tedy interpretovat jako prostý součin “pravděpodobnost krát hodnota”, zatímco u peněžní opce je to složitější, protože pravděpodobnost expirace v penězích a hodnota aktiva při expiraci nejsou nezávislé. Přesněji řečeno, hodnota aktiva při expiraci je proměnná z hlediska peněz, ale je konstantní z hlediska samotného aktiva (fixní množství aktiva), a proto jsou tyto veličiny nezávislé, pokud změníme numeraire na aktivum, nikoliv na peníze.
V detailu jsou tyto termíny pravděpodobnostmi expirace opce v penězích při ekvivalentní exponenciální martingalové míře pravděpodobnosti (numéraire=akcie), resp. ekvivalentní martingalové míře pravděpodobnosti (numéraire=bezrizikové aktivum). Hustota rizikově neutrální pravděpodobnosti pro cenu akcie je následující
kde je definováno, jak je uvedeno výše.
Ekvivalentní martingalová míra pravděpodobnosti se také nazývá rizikově neutrální míra pravděpodobnosti. Všimněte si, že v obou případech se jedná o pravděpodobnosti v teoretickém smyslu míry a ani jedna z nich není skutečnou pravděpodobností expirace v penězích podle reálné míry pravděpodobnosti. K výpočtu pravděpodobnosti podle reálné (“fyzické”) míry pravděpodobnosti je zapotřebí další informace – driftový člen ve fyzické míře nebo ekvivalentně tržní cena rizika.
Nyní si ukážeme, jak se od obecného Black-Scholesova PDE dostaneme ke konkrétnímu ocenění opce. Jako příklad uvažujme Black-Scholesovu cenu kupní opce, pro kterou má výše uvedené PDE okrajové podmínky
Poslední podmínka udává hodnotu opce v době její splatnosti. Řešení PDE udává hodnotu opce v libovolném dřívějším okamžiku, . Při řešení PDE si uvědomíme, že se jedná o Cauchyho-Eulerovu rovnici, kterou lze transformovat na difuzní rovnici zavedením transformace změny proměnné
Pak se Black-Scholesova PDE stává difuzní rovnicí
Konečná podmínka se nyní stává počáteční podmínkou
Při použití standardní metody řešení difuzní rovnice máme následující vztahy
což po určitých manipulacích dává výsledek
Vrátíme-li se k původnímu souboru proměnných, získáme výše uvedené řešení Black-Scholesovy rovnice.
Výše jsme použili metodu bez arbitrážního oceňování (“delta-hedging”) k odvození Black-Scholesova PDE a poté jsme PDE vyřešili, abychom získali vzorec pro ocenění. Feynmanův-Kacův vzorec říká, že řešení tohoto typu PDE je při vhodném diskontování vlastně martingalem. Cena opce je tedy očekávaná hodnota diskontované výplaty opce. Výpočet ceny opce prostřednictvím tohoto očekávání je přístupem rizikové neutrality a lze jej provést bez znalosti PDE. Všimněte si, že očekávání výplaty opce se neprovádí podle míry pravděpodobnosti reálného světa, ale podle umělé rizikově neutrální míry, která se od míry reálného světa liší. Základní logiku viz oddíl “Rizikově neutrální oceňování” v části Racionální oceňování a také oddíl “Oceňování derivátů: svět Q” v části Matematické finance; podrobnosti opět viz Hull:307-309.
“Řekové” měří citlivost hodnoty derivátu nebo portfolia na změny hodnot parametrů při zachování ostatních parametrů. Jsou to parciální derivace ceny vzhledem k hodnotám parametrů. Jedna řečtina, “gama” (stejně jako další zde neuvedené), je parciální derivát jiné řečtiny, v tomto případě “delta”.
Řekové jsou důležití nejen v matematické teorii financí, ale také pro ty, kteří aktivně obchodují. Finanční instituce obvykle stanoví limitní hodnoty řek, které jejich obchodníci nesmí překročit. Delta je nejdůležitější řekou a obchodníci na konci dne vynulují svou deltu, pokud nespekulují. Gamma a vega jsou také důležité, ale nejsou tak pečlivě sledovány.
Řekové pro Black-Scholesův model jsou uvedeni v uzavřeném tvaru níže. Lze je získat diferencováním Black-Scholesova vzorce.
Všimněte si, že vzorce gama a vega jsou stejné pro kupní i prodejní opce. To je patrné přímo z parity put-call, protože rozdíl put a call je forward, který je lineární v S a nezávislý na σ (takže gama a vega forwardu mizí).
V praxi se některé citlivosti obvykle uvádějí ve zmenšeném měřítku, aby odpovídaly rozsahu pravděpodobných změn parametrů. Například rho se často uvádí vynásobené 10 000 (změna sazby o 1 bazický bod), vega 100 (změna o 1 voltážní bod) a theta 365 nebo 252 (rozpad o 1 den na základě kalendářních dnů nebo obchodních dnů v roce).
(Vega samozřejmě není písmenem řecké abecedy; název vznikl tak, že řecké písmeno ν (nu) se čte jako V.)
Výše uvedený model lze rozšířit pro proměnlivé (ale deterministické) sazby a volatility. Model lze také použít k ocenění evropských opcí na nástroje vyplácející dividendy. V tomto případě jsou k dispozici řešení v uzavřeném tvaru, pokud je dividenda známou částí ceny akcie. Americké opce a opce na akcie vyplácející známou peněžní dividendu (v krátkodobém horizontu reálnější než poměrná dividenda) se oceňují obtížněji a je k dispozici výběr technik řešení (například mřížky a sítě).
Nástroje vyplácející dividendy s nepřetržitým výnosem[]
U opcí na indexy je rozumné přijmout zjednodušující předpoklad, že dividendy jsou vypláceny průběžně a že výše dividendy je úměrná úrovni indexu.
Výplata dividend za dané období se pak modeluje jako
pro nějakou konstantu (dividendový výnos).
Podle této formulace lze ukázat, že cena bez arbitráže implikovaná Black-Scholesovým modelem je následující
je modifikovaná forwardová cena, která se vyskytuje v podmínkách :
Rozšíření Black Scholesova vzorce Úprava o výplaty podkladového aktiva.
Nástroje vyplácející diskrétní poměrné dividendy[]
Black-Scholesův rámec je možné rozšířit i na opce na nástroje vyplácející diskrétní poměrné dividendy. To je užitečné, pokud je opce uzavřena na jednu akcii.
Typickým modelem je předpoklad, že část ceny akcií je vyplácena v předem stanovených termínech . Cena akcie je pak modelována jako
kde je počet dividend, které byly vyplaceny do doby .
Cena kupní opce na takovou akcii je opět
je forwardová cena akcie vyplácející dividendu.
Problém nalezení ceny americké opce souvisí s problémem optimálního zastavení, tedy nalezením času pro realizaci opce. Protože americká opce může být realizována kdykoli před datem expirace, stává se Black-Scholesova rovnice nerovností ve tvaru
S terminálními a (volnými) okrajovými podmínkami: a kde označuje výplatu při ceně akcie
Obecně tato nerovnost nemá řešení v uzavřeném tvaru, ačkoli americký call bez dividend se rovná evropskému call a Roll-Geske-Whaleyho metoda poskytuje řešení pro americký call s jednou dividendou.
Barone-Adesi a Whaley je další aproximační vzorec. Zde je stochastická diferenciální rovnice (která platí pro hodnotu jakéhokoli derivátu) rozdělena na dvě složky: hodnotu evropské opce a prémii za předčasné uplatnění. S určitými předpoklady se pak získá kvadratická rovnice, která aproximuje řešení pro druhou z nich. Toto řešení spočívá v nalezení takové kritické hodnoty, , aby bylo lhostejné mezi předčasnou realizací a držením do splatnosti.
Bjerksund a Stensland uvádějí aproximaci založenou na realizační strategii odpovídající spouštěcí ceně. Zde platí, že pokud je cena podkladového aktiva vyšší nebo rovna spouštěcí ceně, je optimální opci uplatnit, přičemž hodnota se musí rovnat , jinak se opce “zúží”: (i) evropskou kupní opci typu up-and-out… a (ii) slevu, která se obdrží k datu knock-out, pokud je opce knock-outována před datem splatnosti.”. Vzorec je snadno modifikovatelný pro ocenění prodejní opce s využitím parity prodejní a kupní opce. Tato aproximace je výpočetně nenáročná a metoda je rychlá, přičemž důkazy naznačují, že tato aproximace může být při oceňování opcí s dlouhým datem přesnější než Barone-Adesi a Whaley.
Black-Scholes v praxi[]
Předpoklad normality Black-Scholesova modelu nezachycuje extrémní pohyby, jako jsou například krachy na akciovém trhu.
Mezi nejvýznamnější omezení patří:
Výsledky využívající Black-Scholesův model se liší od reálných cen kvůli zjednodušujícím předpokladům modelu. Jedním z významných omezení je, že ve skutečnosti se ceny cenných papírů neřídí striktně stacionárním logaritmicko-normálním procesem a ani bezrizikový úrok není ve skutečnosti znám (a není v čase konstantní). Bylo zjištěno, že rozptyl není konstantní, což vedlo k modelům, jako je GARCH, pro modelování změn volatility. Rozdíly v oceňování mezi empirickým a Black-Scholesovým modelem byly dlouho pozorovány u opcí, které jsou daleko mimo peníze, což odpovídá extrémním cenovým změnám; takové události by byly velmi vzácné, kdyby výnosy byly lognormálně rozděleny, ale v praxi jsou pozorovány mnohem častěji.
Přesto je Black-Scholesovo oceňování v praxi hojně využíváno,:751 protože je:
První bod je samozřejmě užitečný. O ostatních lze dále diskutovat:
Užitečná aproximace: přestože volatilita není konstantní, výsledky z modelu jsou často užitečné pro nastavení zajištění ve správném poměru, aby se minimalizovalo riziko. I když výsledky nejsou zcela přesné, slouží jako první aproximace, podle které lze provádět úpravy.
Explicitní modelování: tato vlastnost znamená, že namísto apriorního předpokladu volatility a výpočtu cen z ní lze použít model k řešení volatility, který poskytuje implikovanou volatilitu opce při daných cenách, dobách trvání a realizačních cenách. Řešením volatility pro daný soubor dob trvání a realizačních cen lze sestrojit povrch implikované volatility. Při této aplikaci Black-Scholesova modelu se získá transformace souřadnic z cenové oblasti do oblasti volatility. Namísto kótování cen opcí v dolarech za jednotku (které se obtížně porovnávají mezi striky a dobami trvání) lze tedy ceny opcí kótovat v termínech implikované volatility, což vede k obchodování s volatilitou na opčních trzích.
Výpočtem implikované volatility pro obchodované opce s různými striky a splatnostmi lze testovat Black-Scholesův model. Pokud by Black-Scholesův model platil, pak by implikovaná volatilita pro určitou akcii byla stejná pro všechny striky a splatnosti. V praxi není povrch volatility (3D graf implikované volatility v závislosti na striku a splatnosti) plochý.
Navzdory existenci úsměvu volatility (a porušení všech ostatních předpokladů Black-Scholesova modelu) se Black-Scholesův PDE a Black-Scholesova formule v praxi stále hojně používají. Typickým přístupem je považovat povrch volatility za fakt o trhu a používat z něj implikovanou volatilitu v Black-Scholesově oceňovacím modelu. To bylo popsáno jako “použití špatného čísla ve špatném vzorci k získání správné ceny”. Tento přístup také dává použitelné hodnoty pro zajišťovací poměry (Greeks).
I když se používají pokročilejší modely, obchodníci raději uvažují v termínech volatility, protože jim to umožňuje vyhodnocovat a porovnávat opce s různou splatností, strikem atd.
Black-Scholesovu metodu nelze použít přímo na dluhopisy kvůli pull-to-par. Jakmile dluhopis dosáhne data splatnosti, stanou se známy všechny ceny spojené s dluhopisem, čímž se sníží jeho volatilita, a jednoduchý Black-Scholesův model tento proces neodráží. K řešení tohoto jevu bylo použito velké množství rozšíření Black-Scholesova modelu, počínaje Blackovým modelem. Viz Dluhopisová opce: Ocenění.
Espen Gaarder Haug a Nassim Nicholas Taleb tvrdí, že Black-Scholesův model pouze přetvořil stávající široce používané modely v termínech prakticky nemožného “dynamického zajištění” namísto “rizika”, aby byly více kompatibilní s hlavním proudem neoklasické ekonomické teorie. Tvrdí také, že Boness již v roce 1964 publikoval vzorec, který je “ve skutečnosti identický” s Black-Scholesovou rovnicí pro oceňování kupních opcí. Edward Thorp také tvrdí, že Black-Scholesův vzorec uhodl již v roce 1967, ale nechal si ho pro sebe, aby vydělal peníze pro své investory. Emanuel Derman a Nassim Taleb rovněž kritizovali dynamické zajištění a uvádějí, že řada výzkumníků předložila podobné modely již před Blackem a Scholesem. V reakci na to Paul Wilmott tento model obhajoval.
Britský matematik Ian Stewart zveřejnil kritiku, v níž naznačil, že “rovnice sama o sobě není skutečným problémem”, a uvedl možnou roli “jedné z ingrediencí bohatého guláše finanční nezodpovědnosti, politické neschopnosti, zvrácených pobídek a laxní regulace” kvůli jejímu zneužívání ve finančním průmyslu.