Co je harmonický prostředek?
Harmonický průměr je typem číselného průměru. Vypočítá se vydělením počtu pozorování převrácenou hodnotou každého čísla v řadě. Harmonický průměr je tedy převrácenou hodnotou aritmetického průměru převrácených hodnot.
Harmonický průměr 1, 4 a 4 je:
3
(
1
1
a)
+
a)
1
4
a)
+
a)
1
4
(Text s významem pro EHP)
a)
=
a)
3
1
Ne.
5
a)
=
a)
2
\frac{3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4}\right)}\ =\ \frac{3}{1.5}\ =\ 2
(11 + 41 + 41)3 = 1,53 = 2
Převrácená hodnota čísla n je jednoduše 1 / n.
Základy harmonického průměru
Harmonický průměr pomáhá najít multiplikační nebo dělitelské vztahy mezi zlomky bez obav ze společných jmenovatelů. Harmonické prostředky se často používají při průměrování věcí, jako je rychlost (např. průměrná cestovní rychlost daná délkou několika cest).
Vážený harmonický průměr se používá ve financích pro průměrné násobky, jako je poměr ceny a zisku, protože dává stejnou váhu každému datovému bodu. Použití váženého aritmetického průměru pro průměrování těchto poměrů by dalo větší váhu vysokým datovým bodům než nízkým datovým bodům, protože poměr ceny a zisku není cenově normalizován, zatímco zisk je vyrovnán.
Harmonický průměr je vážený harmonický průměr, kde závaží jsou rovna 1. Vážený harmonický průměr x1, x2, x3 s odpovídajícími závažími w1, w2, w3 je dán takto:
∑
i
=
1
n
w
i
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
\displaystyle{\frac{\sum^n_{i=1}w_i}{\sum^n_{i=1}\frac{w_i}{x_i}}}
∑i=1nxiwi∑i=1nwi
Klíčové způsoby
Harmonický průměr versus aritmetický průměr a geometrický průměr
Mezi další způsoby výpočtu průměrů patří jednoduchý aritmetický průměr a geometrický průměr. Aritmetický průměr je součet řady čísel vydělený počtem této řady čísel. Pokud byste byli požádáni o zjištění třídního (aritmetického) průměru výsledků testů, jednoduše byste sečetli všechny výsledky testů studentů a pak tento součet vydělili počtem studentů. Pokud by například pět studentů složilo zkoušku a jejich výsledky by byly 60%, 70%, 80%, 90% a 100%, aritmetický třídní průměr by byl 80%.
Geometrický průměr je průměr souboru produktů, jehož výpočet se běžně používá k určení výsledků výkonnosti investice nebo portfolia. Technicky je definován jako „n-tý kořenový součin n čísel“. Geometrický průměr se musí používat při práci s procenty, která jsou odvozena z hodnot, zatímco standardní aritmetický průměr pracuje se samotnými hodnotami.
Harmonický průměr se nejlépe používá pro zlomky, jako jsou podíly nebo násobky.
Příklad harmonického průměru
Jako příklad si vezměme dvě firmy. Jedna má tržní kapitalizaci 100 miliard dolarů a zisk 4 miliardy dolarů (P/E 25) a jedna má tržní kapitalizaci 1 miliarda dolarů a zisk 4 miliony dolarů (P/E 250). V indexu vytvořeném ze dvou akcií, s 10% investovanými do první a 90% investovanými do druhé, poměr P/E indexu je:
Použití WAM: P/E
a)
=
a)
0
Ne.
1
×
2
5
+
0
Ne.
9
×
2
5
0
a)
=
a)
2
2
7
Ne.
5
Použití WHM: P/E
a)
=
a)
0
Ne.
1
a)
+
a)
0
Ne.
9
0
Ne.
1
2
5
a)
+
a)
0
Ne.
9
2
5
0
a)
≈
a)
1
3
1
Ne.
6
kde:
WAM
=
vážený aritmetický průměr
P/E
=
poměr ceny a výdělku
\begin{aligned}&\text{Using the WAM:\ P/E}\ =\ 0.1 \times25+0.9\times250\ =\ 227.5\\\\&\text{Using the WHM:\ P/E}\ =\ \frac{0.1\ +\ 0.9}{\frac{0.1}{25}\ +\\ \frac{0.9}{250}}\ \approx\ 131.6\\&\textbf{where:}\\&\text{WAM}=\text{weighted arithmetic mean}\\&\text{P/E}=\text{price-to-earnings ratio}\\\text{WHM}=\text{weighted harmonic mean}\end{aligned}
Použití WAM: P/E = 0,1×25+0,9×250 = 227,5Použití WHM: P/E = 250,1 + 2500,90,1 + 0,9 ≈ 131,6kde:WAM=vážený aritmetický průměrP/E=poměr cena-zisk
Jak je vidět, vážený aritmetický průměr významně nadhodnocuje průměrný poměr ceny a zisku.