Co je součet čtverců?
Součet čtverců je statistická technika používaná v regresní analýze k určení rozptylu datových bodů. V regresní analýze je cílem určit, jak dobře lze datovou řadu přizpůsobit funkci, která by mohla pomoci vysvětlit, jak byla datová řada generována. Součet čtverců se používá jako matematický způsob k nalezení funkce, která nejlépe odpovídá (liší se nejméně) datům.
Vzorec pro součet čtverců je
Pro sadu
X
ze dne
n
položky:
Součet čtverců
=
∑
i
=
0
n
(
X
i
−
X
‾
(Text s významem pro EHP)
2
kde:
X
i
=
The
i
t
h
položka v sadě
X
‾
=
Průměr všech položek v sadě
(
X
i
−
X
‾
(Text s významem pro EHP)
=
Odchylka každé položky od průměru
\begin{aligned} &\text{Pro množinu } X \text{ z } n \text{ položky:}\\ &\text{Součet čtverců}=\sum_{i=0}^{n}\left(X_i-\overline{X}\right)^2\\ &\textbf{where:}\\ &X_i=\text{The } i^{th} \text{ položka v množině}\\ &\overline{X}=\text{Průměr všech položek v množině}\\ &\left(X_i-\overline{X}\right) = \text{Odchylka každé položky od průměru}\\ \end{aligned}
Pro množinu X z n položek:Součet čtverců=i=0∑n(Xi−X)2where:Xi=ith item in setX=Průměr všech položek v množině(Xi−X)=Odchylka každé položky od průměru
Součet čtverců je také znám jako variace.
Co vám říká součet čtverců?
Součet čtverců je míra odchylky od průměru. Ve statistice je průměr průměrem množiny čísel a je nejčastěji používaným měřítkem střední tendence. Aritmetický průměr se jednoduše vypočte sečtením hodnot v množině dat a vydělením počtem hodnot.
Řekněme, že konečné ceny Microsoftu (MSFT) v posledních pěti dnech byly 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 a 73,40 v amerických dolarech. Součet celkových cen je 369,73 dolaru a průměrná nebo průměrná cena učebnice by tedy byla 369,73 dolaru / 5 = 73,95 dolaru.
Znát průměr množiny měření však ne vždy stačí. Někdy je užitečné vědět, jak velká je odchylka v množině měření. To, jak daleko jsou jednotlivé hodnoty od průměru, může poskytnout určitý vhled do toho, jak se pozorování nebo hodnoty hodí k regresnímu modelu, který je vytvořen.
Pokud by například analytik chtěl vědět, zda se cena akcií MSFT pohybuje souběžně s cenou Applu (AAPL), může vyjmenovat soubor pozorování pro proces obou akcií za určité období, řekněme 1, 2 nebo 10 let a vytvořit lineární model s každým zaznamenaným pozorováním nebo měřením. Pokud vztah mezi oběma proměnnými (tj. cenou AAPL a cenou MSFT) není přímka, pak v souboru dat existují odchylky, které je třeba prověřit.
Pokud přímka ve vytvořeném lineárním modelu neprochází všemi hodnotovými měřeními, pak je část variability, která byla pozorována v cenách akcií, nevysvětlená. Součet čtverců se používá k výpočtu, zda existuje lineární vztah mezi dvěma proměnnými, a případná nevysvětlená variabilita se označuje jako zbytkový součet čtverců.
Součet čtverců je součtem čtverce variace, kde variace je definována jako rozptyl mezi každou jednotlivou hodnotu a průměr. Pro určení součtu čtverců je vzdálenost mezi každým datovým bodem a linií, která nejlépe vyhovuje, umocněna na druhou a poté sečtena. Linie, která nejlépe vyhovuje, tuto hodnotu minimalizuje.
Jak vypočítat součet čtverců
Nyní vidíte, proč se měření nazývá součet čtvercových odchylek nebo zkráceně součet čtverců. Pomocí našeho MSFT příkladu výše lze součet čtverců vypočítat jako:
Samotné sečtení součtu odchylek bez kvadratury bude mít za následek číslo rovné nebo blízké nule, protože záporné odchylky téměř dokonale vykompenzují kladné odchylky. Pro získání reálnějšího čísla musí být součet odchylek umocněn na druhou. Součet čtverců bude vždy kladné číslo, protože druhá mocnina libovolného čísla, ať už kladného nebo záporného, je vždy kladná.
Příklad použití součtu čtverců
Na základě výsledků výpočtu MSFT ukazuje vysoký součet čtverců, že většina hodnot je vzdálenější od průměru, a proto existuje velká variabilita dat. Nízký součet čtverců odkazuje na nízkou variabilitu v množině pozorování.
Ve výše uvedeném příkladu 1.0942 ukazuje, že variabilita ceny akcií MSFT v posledních pěti dnech je velmi nízká a investoři, kteří chtějí investovat do akcií charakterizovaných cenovou stabilitou a nízkou volatilitou, se mohou rozhodnout pro MSFT.
Klíčové způsoby
Omezení použití součtu čtverců
Investiční rozhodnutí o tom, jaké akcie koupit, vyžaduje mnohem více pozorování než ty zde uvedené. Analytik může muset pracovat s roky dat, aby s vyšší jistotou věděl, jak vysoká nebo nízká je variabilita aktiva. Jak se do množiny přidává více datových bodů, součet čtverců se zvětšuje, protože hodnoty budou více rozloženy.
Nejrozšířenějšími měřeními rozptylu jsou směrodatná odchylka a rozptyl. Pro výpočet jedné z těchto dvou metrik je však třeba nejprve vypočítat součet čtverců. Rozptyl je průměr součtu čtverců (tj. součet čtverců dělený počtem pozorování). Směrodatná odchylka je druhá odmocnina rozptylu.